Question

已知{an}数列的前n项和Sn =-an-(1/2)^(n-1)+2(n为正整数)

（1）令bn=2^n*an，求证数列（bn)是等差数列，并求数列（an)的通项公式
（2）令cn=(n+1)/n*an,Tn=c1+c2+……+cn试求Tn,并比较Tn与5n/(2n+1)的大小，并予以证明
重点是 比较大小，Tn=3-(n+3)/2^n，可以不用算了

Answer 1

(1).Sn =-an-(1/2)^(n-1)+2
Sn -1=-an-1 -(1/2)^(n-2)+2
an=-an+an-1 -(1/2)^n-2
2an=an-1 +(1/2)^n-1
两边同乘2^n-1,
2^n* an=2^n-1 *an-1 +1
令bn=2^n*an,
bn=bn-1 +1
所以{bn}为等差数列。
s1=-a1 -1+2, a1=1/2,b1=1
所以an=n/(2^n)
(2)根据你的计算Tn=3-(n+3)/2^n，
作差：原式=[3-(n+3)/2^n] -[5n/(2n+1)]
=[3-(n+3)/2^n] -[3 - (n+3)/(2n+1)]
=(n+3)/(2n+1)-(n+3)/2^n
=(n+3)*{1/(2n+1) -1/2^n] < 0
所以Tn<5n/(2n+1)

Answer 2

a--n=2

Answer 3

解 (1).Sn =-an-(1/2)^(n-1)+2 Sn -1=-an-1 -(1/2)^(n-2)+2
an=-an+an-1 -(1/2)^n-2
2an=an-1 +(1/2)^n-1
两边同乘2^n-1,
2^n* an=2^n-1 *an-1 +1
令bn=2^n*an,
bn=bn-1 +1
则{bn}为等差数列。
s1=-a1 -1+2, a1=1/2,b1=1
所以an=n/(2^n)
(2)可得Tn=3-(n+3)/2^n，
作差：原式=[3-(n+3)/2^n] -[5n/(2n+1)]
=[3-(n+3)/2^n] -[3 - (n+3)/(2n+1)]
=(n+3)/(2n+1)-(n+3)/2^n
=(n+3)*{1/(2n+1) -1/2^n] < 0
所以Tn<5n/(2n+1)

Answer 4

(1).Sn =-an-(1/2)^(n-1)+2
Sn -1=-an-1 -(1/2)^(n-2)+2
an=-an+an-1 -(1/2)^n-2
2an=an-1 +(1/2)^n-1
两边同乘2^n-1,
2^n* an=2^n-1 *an-1 +1
令bn=2^n*an,
bn=bn-1 +1
所以{bn}为等差数列。
s1=-a1 -1+2, a1=1/2,b1=1
所以an=n/(2^n)
（2）Tn-5n/(2n+1)=[3-(n+3)/2^n] -[3 - (n+3)/(2n+1)]
=(n+3)/(2n+1)-(n+3)/2^n
=(n+3)*[1/(2n+1) -1/2^n] < 0
由此知Tn小于5n/(2n+1)