Question

在四边形ABCD中，AD＜BC，∠DBC=∠ACB，AC=BD，求证：四边形ABCD是等腰梯形 （请注意证平行）

Answer 1

因为 ∠DBC=∠ACB
所以△BOC中OB=OC （等角对等边）
又因为AC=BD
所以AO=DO
因为AO=DO,OB=OC,∠AOB=∠DOC（对顶角相等）
所以△AOB全等于△DOC
所以AB=DC
因为AD<BC,AB=DC
所以四边形ABCD是等腰梯形

Answer 2

∵∠DBC=∠ACB，AC=BD，BC=CB
∴▲DBC=▲ACB，DC=AB
∵AC=DB，DC=AB，DA=AD
∴▲DAC=▲ADB
∴∠DAC=∠ADB
设AC与DB的交点为E，则∠AED=∠CEB，又∠DAC=∠ADB，∠DBC=∠ACB
∴∠DAC=∠ACB，∠ADB=∠DBC
∴AD∥CB
又DC=AB
∴四边形ABCD是等腰梯形

Answer 3

做四边形CA和BD的延长线相交于O点
由已知条件得：
因为 ∠DBC=∠ACB
所以△BOC中OB=OC （等角对等边）
又因为AC=BD
所以AO=DO
因为AO=DO,OB=OC,∠AOB=∠DOC（对顶角相等）
所以△AOB全等于△DOC
所以AB=DC
因为AD<BC,AB=DC
所以四边形ABCD是等腰梯形