Question

A是3阶矩阵，α1，α2,α3,是3维线性无关的列向量，且Aα1=4α1-4α2+3α3,Aα2=-6α1-α2+α3,Aα3=0.求

求A的特征向量？

Answer 1

又看到你这个题目 正好更正一下结论.

解: 由已知得
A(α1,α2,α3)=(α1,α2,α3)B
其中 B =
4 -6 0
-4 -1 0
3 1 0
记 P = (α1,α2,α3)
由 α1,α2,α3 线性无关, 所以P可逆.
所以有 P^-1AP = B.
|B-λE| = λ[(4-λ)(-1-λ)-24] = λ(λ^2-3λ-28)
= λ(λ-7)(λ+4).
所以 B 的特征值为 0,7,-4.
故与B相似的矩阵A的特征值为 0,7,-4.

下面求B的特征向量.
BX=0 的基础解系为: a1=(0,0,1)'
(B-7E)X=0 的基础解系为: a2=(14,-7,5)'
(B+4E)X=0 的基础解系为: a3=(12,16,-13)'.

设λ是B的特征值, x是B的属于λ的特征向量, 则 Bx=λx.
因为 P^-1AP = B, 所以 P^-1APx = Bx = λx
所以 A(Px) = λ(Px).

即有: 若x是B的属于特征值λ的特征向量, 则Px是A的属于特征值λ的特征向量

所以, A的线性无关的特征向量为 ( 修改的这里)
b1 = Pa1=(α1,α2,α3)(0,0,1)' = α3.
b2 = Pa2=(α1,α2,α3)(14,-7,5)' = 14α1-7α2+5α3.
b3 = Pa3=(α1,α2,α3)(12,16,-13)' = 12α1+16α2-13α3

结论:
A的属于特征值0的特征向量为: k1b1,k1为任意非零常数.
A的属于特征值7的特征向量为: k1b2,k2为任意非零常数.
A的属于特征值-4的特征向量为: k1b3,k3为任意非零常数.

上次提交后发现问题, 但你已采纳, 无法修改, 只好写在评论里了.