Question

已知向量a=(sinα，cosα),向量b=(6sinα+cosα,7sinα-2cosα),设函数f(α)=向量a*向量b.

⑴求函数f(α)的最大值；
⑵在锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，f(A)=6,且△ABC的面积为3，b+c=2+3√2,求a的值。

Answer 1

（1）f(α)=sinα(6sinα+cosα)+cosα(7sinα-2cosα)
=6(sinα)^2+8sinαcosα-2(cosα)^2
=3(1-cos2α)+4sin2α-(1+cos2α)
=4(sin2α-cos2α)+2
=4(√2）sin（2α-45°）+2，
最大值为4√2+2.
（2）f(A)=4√2sin(2A-45°）+2=6，sin(2A-45°）=1/√2，A为锐角，
∴2A-45°=45°，A=45°。
∴S△ABC=bc/(2√2）=3，bc=6√2，
由余弦定理，a^2=(b+c)^2-2bc(1+cosA)
=(2+3√2）^2-12√2（1+1/√2）
=10，
∴a=√10.