Question

正方形ABCD中∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC于点M,N,连接BD交AM于E，交AN于F

已经证得EF平方=BE平方+DF平方。另一个是三角形AMN面积是三角形AEF面积的2倍证明还未想出～谁有提示没。。

Answer 1

解：连接NE，由F点向AM作垂线，垂足为G，连接MF
∵∠MAN=∠BDC=45°
∠AFE=∠DFN（公共角）
∴△AEF∽△DFN
∴AF：DF=EF：FN
在△AFD与△EFN中
∵∠EFN=∠AFD
∴△EFN∽△AFD
∴∠FEN=∠DAN
∵∠AEF=∠DNA
且∠DAN+∠DNA=90°
∴∠AEF+∠FEN=90°（即AEND四点共圆）
∴NE⊥AM
∵∠MAN=45°
∴△AEN是等腰直角三角形
∴AE=EN
同理可证ABMF四点共圆
∴MF⊥AN
∵∠MAN=45°
∴△MAF是等腰直角三角形
∴FG=（1/2）AM
S△AEF=(1/2)GF×AE=（1/2）EN×（1/2）AM=（1/4）EN×AM
S△AMN=（1/2）AM×EN
∴S△AEF：S△AMN=（1/4）EN×AM/[（1/2）EN×AM]
∴S△AEF：S△AMN=1/2
（最后求面积比可以用两边积的一半与夹角的正弦的积更简单些，只是我级别低不能上传入图片）给分吧！