Question

高一数学:已知点P(0,5)及圆Cx^2+y^2+4x-12y+24=0。 求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程

Answer 1

解：
圆C：x²＋y²＋4x－12y＋24＝0
即：(x＋2)²＋(y－6)²＝16
圆心C的坐标：(－2，6)
∵P(0，5)
∴PC的中点坐标：(－1，11/2)
由题意可知：
过P点的圆C的弦的中点轨迹是以PC中点为圆心，以1/2|PC|为半径的圆
∵1/2|PC|＝1/2√[(0＋2)²＋(5－6)²]＝1/2√(2²＋1²)＝√5 /2
∴过P点的圆C的弦的中点轨迹方程为：(x＋1)²＋(y－11/2)²＝5/4
整理得，一般方程：x²＋y²＋2x－11y＋30＝0

Answer 2

弦的方程：y=kx+5
代入x^2+y^2+4x-12y+24=0，得：
(1+k^2)x^2-(2k-4)x-11=0
x1+x2=(2k-4)/(1+k^2)
这里的x1,x2就是弦的两个端点的横坐标
设弦的中点坐标(m,n)
则：m=(x1+x2)/2=(k-2)/(1+k^2) ---------(1)
而弦的中点坐标也满足弦的方程，
所以：n=km+5
k=(n-5)/m, 代入(1),得：
(m+1)^2+(n-(11/2))^2=5/4
以x,y替代以上的m,n,得：
(x+1)^2+(y-(11/2))^2=5/4
这就是：过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程
是一个园

Answer 3

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