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求大学线性代数试卷，大一的（有答案详解）

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Answer 1

武汉理工大学考试试题纸（A卷）
课程名称 线 性 代 数 专业班级 全校07级本科
题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分
题分 15 15 32 14 14 10 100
备注: 学生不得在试题纸上答题(含填空题、选择题等客观题)
一、填空题（每小题3分，共15分）
1、设 ，则 ＝____________。
2、设 ，且 ，则 ＝____________。
3、已知 ， 是三元齐次线性方程组 的两个不同的解，且 ，则该方程
组的通解为____________。
4、已知向量组 ， ， ， ，则
＝____________。
5、设三阶方阵 与对角阵 相似，则 ＝ 。
二、单项选择题（每小题3分，共15分）
1、设 是n维列向量，且 ，则 ＝（ ）。
(A) 1 (B) 0 (C) 2 (D)
2、设 ， ， ，则 ＝（ ）。
(A) 1 (B) 2 (C) 1/2 (D) 4
3、设 是向量空间 的一个基，则下列仍是 的一个基的是（ ）。
(A) (B)
(C) (D)
4、二次型 是正定二次型，则 应满足（ ）。
(A) (B) (C) (D)
5、设A为 阶方阵， 为 的伴随矩阵，且 ，则 的秩为（ ）。
(A) (B) (C) 1 (D) 0

三、计算题(每小题8分，共32分)
1、已知 是行列式 的元素 的代数余子式，计算 ；
2、设 ， ，求矩阵 ，使其满足 ；
3、设 为n阶方阵，且 ，计算 ；
4、设 ， ， ， ，求： 、 为
何值时， 能由 线性表示，且表示唯一，并求出表示式。
四、(14分) 已知线性方程组

（1） 求：a为何值时，方程组有唯一解、无解、有无穷多个解；
（2） 在方程组有无穷多个解时，用其对应的齐次线性方程组的基础解系表示其通解。
五、（14分） 已知实二次型 ，
（1）写出 的矩阵 ；
（2）求 的秩；
（3）求正交变换 （必须写出正交变换矩阵P），把 化为标准形。
六、证明题（共10分）
1、（6分） 设 是齐次线性方程组 的一个基础解系，证明： ， ， ， 也是该方程组的一个基础解系；
2、（4分） 设 为 阶方阵，且 ， ，证明： 。

武汉理工大学教务处
试题标准答案及评分标准用纸
课程名称:线性代数 （ A 卷）
一、填空题（每小题3分，共15分）
1、 ； 2、 ； 3、k( ),k R； 4、3； 5、 3.
二、选择题（每小题3分，共15分）
1、C 2、A 3、B 4、D 5 、D
三、解答题（每小题8分，共32分）
1、 ………………………………………………………………（3分）
………………………………………………………………（8分）
2、 由 得 ……………………………………………………………（2分）
因 ～
～ ………………………………………………（6分）
所以 X= ………………………………………………………………（8分）
3、 因 ， ……………………………………………………………（2分）
所以 …………………………………………………………（4分）
= = …………………………………………………………（6分）
= = ………………………………………………………………（8分）
4、记 ，设 . ……………………………………… （2分）
解法一： ～
～ ………………… …………………（4分）
故当 且 时，方程组有唯一解，即 能由 线性表示，且表示式唯一； ………（6分）
此时， ～ ， . ………………… …………………（8分）
解法二： ………………… …………………（2分）
故当 且 时，方程组（1）有唯一解，即 能由 线性表示，且表示式唯一；……（4分）
此时， ～
～ ～ ………… …………………（4分）
………… ……………………………………（8分）

四（14分）、
系数矩阵为 ，增广矩阵为 ，
（1）解法一 B ～ ～ … …………………（4分）
当 且 时， ，方程组有唯一解；
当 时，B ～ ， ，方程组无解；
当 时，B ～ ， ，方程组有无穷多个解。 ………………（7分）
解法二 … ………… … …………………（4分）
当 且 时， , ，方程组有唯一解；
当 时， ～ ， ，方程组无解；
当 时， ～ ， ，方程组有无穷多个解。 … …………… ……………… ………………（7分）
(2) 在方程组有无穷多个解时，得同解方程组 ，取 ，得原方程组一特解 ； ………………………………………………………………（9分）
在 中取 ，得原方程组对应齐次线性方程组的基础解系为 ， ； ………………………………………………（12分）
所以原方程组的通解为 ， 为任意常数。 …………………………………（14分）
注：此题基础解系有很多种表示形式，改卷时需注意。
五（14分）、（1） 的矩阵 ； …………………………………………………………………（2分）（2）因 ， ,所以 的秩为2； …………………………………………（3分）
（3）由 ，得A的特征值为 ， 。 ……………（6分）

当 时，解方程 ，由 = ～ ，得基础解系 ；
当 时，解方程 ，由 = ～ ，得基础解系 ；
把 单位化，得 ， …………………………………………（12分）
则有正交阵 和正交变换 ，把 化为标准形
. ………………………………………………………………………（14分）
注：此题基础解系有很多种表示形式，故正交阵 有多种形式，改卷时需注意。
六、证明题
1、（6分）证法一：由其次线性方程组解的性质知 ， ， ， 都是 的解； ……………………………………………………………（2分）
则有 , , ,

， 因 所以 K 可逆，
或 ～ ， 所以 K 可逆，从而 .
又因为 是 的一个基础解系，故它们线性无关， ，于是 ，解向量组 线性无关，故是该方程组的一个基础解系。 ………………………………………………（6分）
证法二：由其次线性方程组解的性质知 ， ， ， 都是 的解； ……………………………………………………………（2分）
设 ，则有
，
因为 是 的一个基础解系，它们线性无关，故有

其系数行列式为 , 方程组有唯一零解 ，所以解向量组 线性无关，故是该方程组的一个基础解系。………………………………………………（6分）
2、证法一： 因为 ,所以 ， ……………………………………………………………（1分）
则有 ，
故有 。 ………………………………………………………………………………（4分）
证法二： ，因此
。 ………………………………………………………………………………（3分）
又因为 ，所以有 。 ………………………………………………………………（4分）