Question

1.已知数列{an}中,a1=-2,a(n+1)+r=Sn①试求{an}的通项公式②当r为何值时,{an}为等比数列

2.已知数列{an}满足（1/an)-an=2倍根号n,且an＞0.（1）求数列{an}的通项公式（2）证明∑an<根号n（3）数列{an}是否存在最大项？若存在最大项,求出该项和相应的项数,若不存在,说明理由

Answer 1

1. an + r = Sn-1,
a(n+1) + r = Sn.
an = Sn - Sn-1 = a(n+1) - an
所以，an通项就是 -2×2^(n-1), r = 2

2. (an+根号n)^2=1+n，所以，an=根号(1+n)-根号n
∑an = 根号(1+n) - 1 < 根号n
数列an最大项应该是第一项，根号2-1

Answer 2

1、①a[n+1]+r=S[n]，
a[n]+r=S[n-1]（n≥2）,两式相减得
a[n+1]-a[n]=S[n]-S[n-1]=a[n]（n≥2）,
故a[n+1]=2a[n]（n≥2），又a[2]=S[1]-r=-2-r
∴a[n]={ -2 n=1
a[2]×2^(n-2)=-(2+r)2^(n-2) n≥2.
② 由①的结果得，a[n]为等比数列当且仅当
a[2]=-2-r=2a[1]=-4,即r=2,此时有
a[n]=-2^n,(n∈N*)

2.①由已知得1-a[n]^2=2a[n]√n,j解这个关于a[n]的二次方程，并注意a[n]>0
得a[n]=√(n+1)-√n,(n∈N*)
② 由①的结果知Σa[n]=a[1]+a[2]+……+a[n]
=(√2-√1)+(√3-√2)+……+(√(n+1)-√n)=√(n+1)-1
∵n+1＜n+1+2√n=(√n+1)^2,两边开方得 √(n+1)＜1+√n
∴Σa[n]=√(n+1)-1＜√n (n∈N*)
③ 由①的结果a[n]=√(n+1)-√n
=1/[√(n+1)+√n] 知a[n]关于n单调递减，
∴a[n]存在最大项且为a[1]=√2-1.

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