Question

21.设二元函数 z=ln(x-y)+e^(xy) .证明: x(z)/(x)-y(z)/(y)=？

Answer 1

首先对原式进行偏导数运算：
∂z/∂x = 1/(x-y) + ye^(xy)
∂z/∂y = -1/(x-y) + xe^(xy)
然后对 x(z)/x 求偏导数：
∂(x(z)/x) = [x∂z/∂x - z]/x^2
代入上面的 ∂z/∂x：
∂(x(z)/x) = [(x-y)/(x-y) + xy*e^(xy) - ln(x-y) - e^(xy)]/x^2
整理后得到：
∂(x(z)/x) = [xy*e^(xy) - ln(x-y)]/x^2
同理，对 y(z)/y 求偏导数：
∂(y(z)/y) = [y∂z/∂y - z]/y^2
代入上面的 ∂z/∂y：
∂(y(z)/y) = [-y/(x-y) + xy*e^(xy) - ln(x-y) - e^(xy)]/y^2
整理后得到：
∂(y(z)/y) = [xy*e^(xy) - ln(x-y)]/y^2
将上述两个式子相减：
∂(x(z)/x) - ∂(y(z)/y) = [xye^(xy) - ln(x-y)]/x^2 - [xye^(xy) - ln(x-y)]/y^2
化简得：
∂(x(z)/x) - ∂(y(z)/y) = [(y/x)^2 - 1]/(x-y)
因此，有：
x(z)/(x)-y(z)/(y) = [(y/x)^2 - 1]/(x-y)
证毕。