Question

请各位高手帮忙解答这道数学题，求详细解答步骤过程，希望能尽快解决这道题！答得好的

接上：视具体情况，再额外追加20~50悬赏分，谢谢！！

Answer 1

当n=1时，b1=a1/2=1/2,n>=2时，bn=（2n-5)/2^n,
当n=1时，s1=1/2,当n=2时，s2=1/4,因n>=3时，bn>0,则s2最小，即sn>=1/4
当n>=3时，sn=1/2+(2*2-5)/2^2+...+(2n-5）/2^n 1
则1/2sn=1/4+( 2*2-5)/2^3+...+(2n-5)/2^(n+!) 2
1式-2式得
1/2sn=1/4+(2*2-5)/2^2+2/2^3+2/2^4+.....2/2^n-(2n-5)/2^(n+1)
则sn=1/2+1/2^2+...+1/2^（n-1)-(2n-5)/2^n)
则sn=1-1/2^(n-2)-(2n-5)/2^n=1-(1-2n)/2^n<1 即得证

追问

谢谢您的回答！！高明啊，算到这就得证了！不过偶还是不太理解这题的过程~

追答

上次最后一行出了点小问题，sn=1-1/2^(n-2)-(2n-5)/2^n=1+(1-2n)/2^n<1
对于一般数列an=（a*n-b）/c^n的前n项和，一般用错位相减法即
sn=（a-b)/c+(a*2-b)/c^2+……+(a*(n-1)-b)/c^(n-1)+(a*n-b)/c^n
c*sn=(a-b)+(a*2-b)/c+(a*3-b)/c^2+……+(a*n-b)/c^(n-1) (或者sn乘以1/c,结果一样）
两式对齐相减，即得(1-c)sn=-(a-b)+(-a/c)+(-a/c^2)+……+(-a/c^(n-1))+(a*n-b)/c^n
=(b-a)-a(c+c^2+c^3+……+c^(n-1))+(a*n-b)/c^n
=(b-a)-a*(c-c^n)/(1-c)+(a*n-b)/c^n
当c不等于1时，则 sn=（b-a)/(1-c)-a*(c-c^n)/(1-c)^2+(a*n-b)/(c^n*(1-n)

Answer 2

首先，b2是负值，所以T2是最小值1/4
当n>2时，tn一定是单增的，因为bn此时大于0。
证明tn小于1只需要把tn的表达式放大，tn小于b1+b3+b4+b5+b6+b7+...
小于1/2+1/4+1/8+1/16+1/32....<1 证毕

追问

谢谢阁下的回答！！但鄙人不懂什么放缩法， 我只知放缩法是有好多种，您的回答真的挺精炼的，【相对于数学高手而言】 不过，偶个人正处于 一头雾水之中~

Answer 3

当n=1时，b1=a1/2=1/2,n>=2时，bn=（2n-5)/2^n,
当n=1时，s1=1/2,当n=2时，s2=1/4,因n>=3时，bn>0,则s2最小，即sn>=1/4
当n>=3时，sn=1/2+(2*2-5)/2^2+...+(2n-5）/2^n 1
则1/2sn=1/4+( 2*2-5)/2^3+...+(2n-5)/2^(n+!) 2
1式-2式得
1/2sn=1/4+(2*2-5)/2^2+2/2^3+2/2^4+.....2/2^n-(2n-5)/2^(n+1)
则sn=1/2+1/2^2+...+1/2^（n-1)-(2n-5)/2^n)
则sn=1-1/2^(n-2)-(2n-5)/2^n=1-(1-2n)/2^n<1 即得证 首先，b2是负值，所以T2是最小值1/4
当n>2时，tn一定是单增的，因为bn此时大于0。
证明tn小于1只需要把tn的表达式放大，tn小于b1+b3+b4+b5+b6+b7+...
小于1/2+1/4+1/8+1/16+1/32....<1 证毕

追问

谢谢阁下的回答！！但鄙人不懂什么放缩法， 我只知放缩法是有好多种的，您所证明得tn小于1只需要把tn的表达式放大，tn小于b1+b3+b4+b5+b6+b7+...
小于1/2+1/4+1/8+1/16+1/32....<1 证毕 ，这一步，偶还是没能看懂，请问能再说一下吗？！我希望您能够有属于自己一套的独立见解，不用抄袭的~

追答

sn=（a-b)/c+(a*2-b)/c^2+……+(a*(n-1)-b)/c^(n-1)+(a*n-b)/c^n
c*sn=(a-b)+(a*2-b)/c+(a*3-b)/c^2+……+(a*n-b)/c^(n-1) (或者sn乘以1/c,结果一样）
两式对齐相减，即得(1-c)sn=-(a-b)+(-a/c)+(-a/c^2)+……+(-a/c^(n-1))+(a*n-b)/c^n
=(b-a)-a(c+c^2+c^3+……+c^(n-1))+(a*n-b)/c^n
=(b-a)-a*(c-c^n)/(1-c)+(a*n-b)/c^n
当c不等于1时，则 sn=（b-a)/(1-c)-a*(c-c^n)/(1-c)^2+(a*n-b)/(c^n*(1-n)

Answer 4

是1。