Question

（半小时求题）一道与正弦定理余弦定理有关的高一数学题

在三角形ABC中，A最大，C最小，且A=2C，a+c=2b,求此三角形的三边之比？

Answer 1

因为a+c=2b
所以SinA+SinC=2SinB
Sin(2c)+SinC=2Sin(180°-A-C)=2Sin(3C)
2SinC*CosC+SinC=2Sin3C=6sinC-8sin³C （三倍角公式）
2CosC=5-8Sin^2C=8Cos^2C-3
CosC=3/4 CosC=-8/16（C>90°不合题意，舍弃）
SinC=√7/4
SinA=2SinC*CosC=3√7/8
SinB=5√7/16
三角形的三边之比为SinA：SinB：SinC=6：5：4

Answer 2

解：有正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 及a+c=2b得：
sinA+sinc=2sinB;
sin2C+sinc=2sin(π-A-C)
2sinCcosC+sinc=2sin3C
2sinCcosC+sinc=2sinCcos2C+2cosCsin2C
2sinCcosC+sinc=2sinC(cos^C -sin^C)+4 cos^C sinC
2cosC+1=2 cos^C -2sin^C+4 cos^C
2cosC+(sin^C + cos^C)=6cos^C-2sin^C
2cosC=5cos^C-3sin^C
8 cos^C-2cosC-3=0
cosC =-1/2(舍)或cosC=3/4
sinC=√7/4
sinA=sin2C=2sinCcosC=3√7/8
sinB=sin3C= sinCcos2C+2cosCsin2C=5√7/16
a:b:c=sinA:sinB:sinC=3√7/8: 5√7/16: √7/4=6:5:4

Answer 3

sin A/sin C=a/c
sin 2C/sin C=a/c
2sin C cos C/sin C=a/c
2cos C=a/c
2ab cos C=a^2*b/c
2ab cos C=a^2+b^2-c^2
a^2*b/c=a^2+b^2-c^2
a^2*b/c=(a+c)(a-c)+b^2
a^2*b/c=(a+c)2b+b^2
a^2/c=2(a-c)+b
2a^2/c=4(a-c)+2b
2a^2/c=4a-4c+a+c
2a^2/c=5a-3c
2a^2-5ac+3c^2=0
a=c（舍）或a=3/2c
a+c=2b
所以a：b：c=6：5：4

Answer 4

3:4:5