Question

求极限Limx→4 ((1+2*x)^(1/2)-3)/(x-4) 完整过程。

如图，求详细过程，不用洛必达

Answer 1

【计算结果】lim(x→4 )((1+2*x)^(1/2)-3)/(x-4)=1/3

【求解思路】该极限计算如不用洛必达法则求解，可以通过根式有理化，进行化简，再得到其极限值。

解：

lim(x→4 )((1+2*x)^(1/2)-3)/(x-4)

=lim(x→4 )[((1+2*x)^(1/2)-3)((1+2*x)^(1/2)+3)]/[(x-4)((1+2*x)^(1/2)+3)]

=lim(x→4 )[2(x-4)]/[(x-4)((1+2*x)^(1/2)+3)]

=lim(x→4 )2/((1+2*x)^(1/2)+3)

=1/3

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Answer 2

可以使用泰勒公式（Taylor series expansion）来求解这个极限。
首先，我们需要将函数进行化简，得到：
(1 + 2x)^(1/2) - 3
= [(1 + 2x)^(1/2) - 1] - 2
= 2x/(1 + 2x)^(1/2) / [1 + (1 + 2x)^(1/2)]
然后，我们可以对分式中的两部分进行泰勒展开：
2x/(1 + 2x)^(1/2) ≈ 2x/2 = x
1/[1 + (1 + 2x)^(1/2)] ≈ 1 - (1 + 2x)^(1/2)
将这两个近似代入原极限式中，得到：
Limx4 ((1+2*x)^(1/2)-3)/(x-4)
≈ Limx4 [x * (1 - (1 + 2x)^(1/2))] / [(x-4) * (1 + (1 + 2x)^(1/2))]
然后，我们可以将分子和分母分别进行因式分解：
x * (1 - (1 + 2x)^(1/2)) = -x * [(1 + 2x)^(1/2) - 1]
(x-4) * (1 + (1 + 2x)^(1/2)) = (1 + 2x)^(1/2) * [(x-4)/(1 + (1 + 2x)^(1/2))] * [1 + (1 + 2x)^(1/2)]
代入式中，得到：
Limx4 ((1+2*x)^(1/2)-3)/(x-4)
≈ Limx4 [-x * [(1 + 2x)^(1/2) - 1]] / [(1 + 2x)^(1/2) * [(x-4)/(1 + (1 + 2x)^(1/2))] * [1 + (1 + 2x)^(1/2)]]
将 x=4 代入，我们得到：
Limx4 ((1+2*x)^(1/2)-3)/(x-4)
≈ [-4 * (1 - 1)] / [(3/2) * 2 * 2]
= 2/7
因此，该极限的值为 2/7。

Answer 3

解答如下