Question

如何将二次型f的标准形化为规范形

举个例子

Answer 1

就是在实数范围内把系数化成1。

如

f = 2x1^2 - 3x2^2

令 y1= √2x1, y2=√3x2

则有 f =y1^2 - y2^2

写出二次型f的矩阵之后，先求出二次型f的所有特征值和特征向量再将特征向量单位正交化。

进一步进行单位化，由这些特征向量组成的矩阵Q就可以将A对角化，二次型就化为标准型了

这里的三个特征值为2，1，1

那么标准型f=2y1^2 +y2^2 +y3^2

而规范型的意思就是特征值的正负号，即正负惯性指数这里的三个特征值都大于0，那么化为规范型f=z1^2+z2^2+z3^2

扩展资料：

二次形式总是生成对称双线性形式（通过极化恒等式），而反过来要求除以2。

注意对于任何向量u∈V

2Q(u) =B(u,u)

所以如果2在R中是可逆的（在R是一个域的时候这同于有不是2的特征），则我们可以从对称双线性形式B恢复二次形式，通过Q(u) =B(u,u)/2当2是可逆的时候，这给出在V上的二次形式和V上的双线性形式之间的一一映射。如果B是任何对称双线性形式，则B(u,u)总是二次形式。

所以在2是可逆的时候，这可以用作二次形式的定义。但是如果2不是可逆的，对称双线性形式和二次形式是不同的：某些二次形式不能写为形式B（u,u）。

参考资料来源：百度百科-二次型

Answer 2

就是在实数范围内把系数化成1. 如
f = 2x1^2 - 3x2^2
令 y1= √2x1, y2=√3x2
则有 f =y1^2 - y2^2