Question

(1+a^2+a^4+……a^2n)/(a+a^3+a^5+……a^2n-1)>（n+1）/n a>0且a不等于-1 求高手解答怎么证明

Answer 1

需要整体考虑
设S=(1+a^2+a^4+……a^2n)/(a+a^3+a^5+……a^2n-1)

一方面S=1/(a+a^3+a^5+……a^2n-1)+(a^2+a^4+……a^2n)/(a+a^3+a^5+……a^2n-1)
=1/(a+a^3+a^5+……a^2n-1)+a

另一方面S=(1+a^2+a^4+……a^2n-2)/(a+a^3+a^5+……基粗a^2n-1)+a^2n/(a+a^3+a^5+……a^2n-1)
=a^2n/(a+a^3+a^5+……a^2n-1)+1/a

综合一下
2S=a+1/a+(1+a^2n)/(a+a^3+a^5+……a^2n-1)

而当0＜k＜2n时，1+a^2n-(a^k+a^(2n-k))=(a^k-1)(a^(2n-k)-1)＞0
所以1+a^2n＞a+a^2n-1
1+a^2n＞a^3+a^2n-3
...
1+a^2n＞a^2n-1+a
相加孝升得，n(1+a^2n)＞2(a+a^3+a^5+……a^2n-1)
(1+a^2n)/(a+a^3+a^5+…搏慎镇…a^2n-1)＞2/n

2S=a+1/a+(1+a^2n)/(a+a^3+a^5+……a^2n-1)
＞2+2/n
S＞(n+1)/n