Question

已知在梯形ABCD中,AD平行BC,AB=CD,BC=8,角B=60度,点M是边BC的中点,点E、F分别是边AB、CD上的两个动点

已知在梯形ABCD中,AD平行BC,AB=CD,BC=8,角B=60度,点M是边BC的中点,点E、F分别是边AB、CD上的两个动点（点E与点A、B不重合，点F与点C、D不重合），且角EMF=120度，求证：ME=MF

Answer 1

在BA上截取BG=BM，则ΔBMG是等边三角形=>∠MGE=∠C=60°，MG=MC；
又∵∠BME+∠CMF=60°，∠BME+∠EMG=60°=>∠EMG=∠CMF , ∴ △GME≌△CMF=>ME=MF
当点E、F分别在边AB、CD上移动时，
五边形AEMFD的面积=五边形AGMCD的面积=梯形ABCD的面积-△BMG的面积,∴大小不会改变。
当点E、F恰好是边AB、CD的中点时， △BME≌△CMF=>∠BME=∠CMF=30°
∴ △BME为30°Rt△=>BE=1/2BM=1/2X4=2 =>AB=CD=4=>等边△ABM、等边△DCM、等边△AMD
∴AD=4

Answer 2

在BA上截取BG=BM，则ΔBMG是等边三角形=>∠MGE=∠C=60°，MG=MC；
又∵∠BME+∠CMF=60°，∠BME+∠EMG=60°=>∠EMG=∠CMF , ∴ △GME≌△CMF=>ME=MF
当点E、F分别在边AB、CD上移动时，
五边形AEMFD的面积=五边形AGMCD的面积=梯形ABCD的面积-△BMG的面积,∴大小不会改变。
当点E、F恰好是边AB、CD的中点时， △BME≌△CMF=>∠BME=∠CMF=30°
∴ △BME为30°Rt△=>BE=1/2BM=1/2X4=2 =>AB=CD=4=>等边△ABM、等边△DCM、等边△AMD
∴AD=4

Answer 3

过点M作MG垂直于AB，MH垂直于CD
证明三角形GMB全等于三角形HMC（A.A.S）
再证三角形GME全等于HMF（A.S.A）
然后ME=MF

Answer 4

下面那位匿名的做得很对耶，我也想知道，他做对了O(∩_∩)O哈哈~

Answer 5

这就是我们今天的回家作业，我也想知道

Answer 6

有题意可知，三角形BME相似于三角形CFM，故EM/MF=BM/CF=BE/CM且BM/CM=1，故MF=ME