Question

请教一道题目，关于幂级数的和函数

(n=1 ~ ∞)∑(n^2*x^n)的收敛区间与和函数....
好像无论逐项求导还是逐项积分都做不出....请教高手，不胜感激

Answer 1

积分两次可得：
S(n) = ∑(n²*x^n)
= ∑(n(n-1)*x^n + n*x^n)
= ∑(n(n-1)*x^n + ∑(n*x^n)
= x²∑[n(n-1)*x^(n-2)] + x∑[n*x^(n-1)]
= x²{∑[x^n]} ’’+ x｛∑[x^n] }’ 积分的过程我省略了，想必你看得懂的
= x²{1/(1-x)} ’’+ x｛1/(1-x) }’
= x² *2/(1-x)³ + x / (1 - x)²
= [2x² + x(1-x)] / (1 - x)³
= [x² + x] / (1 - x)³
= x(1 + x) / (1 - x) ³

注释：
1. 注意我 没有 考虑初始值
2. 收敛区间 和 ∑[x^n] = 1/(1-x) 相同

Answer 2

见链接
http://hi.baidu.com/522597089/album/item/82f0e529b8d1a1645243c1ea.html#