Question

设随机变量X与Y相互独立，且X～N(1，22)，Y～N(0，1)，求函数Z=2X-Y+3的概率密度。

Answer 1

【答案】：正态分布的线性组合．
因为X，Y相互独立，且都服从正态分布，所以它们的线性组合W=2X-Y服从正态分布，从而函数Z=W+3也服从正态分布．计算数字特征，得
E(Z)=2E(X)-E(Y)+3=5，D(Z)=4D(X)+D(Y)=17．
于是，求得函数z的概率密度。
求二维随机变量的函数的分布，一般需要从分布函数出发，转到二重积分的计算．然而对于正态分布，我们知道更多，于是处理方法也更多．这里没有计算积分．先用定理知道函数仍服从正态分布，再用公式计算数字特征，函数的分布就得到了。