Question

求由直线r=√2sinθ与r^2=cos2θ所围成的图形的公共部分的面积。

Answer 1

首先，r=√2sinθ表示圆，圆心在点(√2/2,pi/2)处，半径为√2/2。如果一定要是直线的话，应该是rsinθ=√2。r^2=cos2θ，表示双纽线，极角θ范围是[-pi,-3pi/4]，[-pi/4,pi/4]，[3pi/4,pi]。但注意到，事实上这两条曲线是不交的。所以，我推测，题中仍然是圆r=√2sinθ。联立两方程，求得交点：(√2/2,pi/6)，(√2/2,5pi/6)。定积分计算，被积表达式为1/2*(r(θ)^2)dθ，其中当θ在[0,pi/6]以及[5pi/6,pi]内时，r=r(θ)=√2sinθ；当θ在[pi/6,pi/4]以及[3pi/4,5pi/6]内时,r=r(θ)=√ (cos2θ)。积分区间[0,pi/4]和[3pi/4,pi]。由于图形对称性，仅计算第一象限面积即可。简单的计算告诉我们，所围成图形在第一象限面积为pi/12+(1-√3)/4，所以所求图形面积为pi/6+(1-√3)/2。