Question

如何证明三角形的重心

Answer 1

重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。(等边三角形）重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

重心的性质及证明

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

证明：已知：△ABC，E、F是AB，AC的中点。EC、FB交于G。

求证：EG=1/2CG。

重心的性质及证明。

证明：过E作EH∥BF交AC于H。

∵AE=BE，EH//BF。

∴AH=HF=1/2AF(平行线分线段成比例定理)。

又∵ AF=CF。

∴HF=1/2CF。

∴HF:CF=1/2。

∵EH∥BF。

∴EG:CG=HF:CF=1/2。

∴EG=1/2CG。

几个定理：

重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的 。

离是它到对边中点距离的2倍。该点叫做三角形的重心。

外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。

垂心定理：三角形的三条高交于一点。该点叫做三角形的垂心。

内心定理：三角形的三内角平分线交于一点。该点叫做三角形的内心。

旁心定理：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。该点叫做三角形的旁心。三角形有三个旁心。