Question

-已知：在四边形ABCD中，AB=DC,AC=BD,AD≠BC.求证：四边形ABCD是等腰梯形.（要求用两种方法，要作辅助线）

分析：要说明四边形ABCD是等腰梯形，因为AB=DC，所以只要说明四边形ABCD是梯形即可；又因为AD≠BC，故只需证AD平行BC即可

Answer 1

方法一：延迟BA、CD交于E，
先证明△ABD ≌ △DCA,条件为AB=DC,AC=BD，AD=AD
所以∠ABD=∠ACD
再证明△EBD ≌ △ECA条件是∠ABD=∠ACD，∠E=∠E,AC=BD
所以EB=EC,因为AB=DC，所以AE=DE
所以△AED 和△EBC为同顶角的两个等腰三角形，
所以∠EAD=∠ABC，可证AD平行BC

方法二：设AC和BD交于O点。
先证明△ABD ≌ △DCA, △ABC ≌ △DCB,条件都是SSS
即可得到∠ADB=∠DAC，∠CBD=∠ACB,又因为∠AOD=∠BOC
所以∠ADB=∠CBD=（180-∠AOD）/2
可证AD平行BC

Answer 2

解法一、△ABD全等于△DCA，一系列角相等，做BE垂直于AD于E,做CF垂直于AD于F,可证得BE平行且相等与CF，故BC∥AD,又AD≠BC，AB=DC，得证

解法二：、△ABD全等于△DCA，所以∠BAD=∠CDA，延长AB，BC交于一点P，所以PA=PD,因为AB=DC，所以PB=PC，平行线分线段成比例所以BC∥AD又AD≠BC，AB=DC，得证
（图为上底BC，下底AD)