Question

三角形ABC中，AD⊥BC于D，AB=AC，过B点作射线BP交AD，AC分别于E，F两点，与过点C平行AB的直线交于P点

（1）EB²=EF*EP求证
（2）若过B点的射线交AD，AC的延长线分别于E，F，其它条件不变，则结论（1）是否成立？若成立，说明理由.

Answer 1

延长AD,CP交于点Q

∵AD⊥BC，AB=AC

∴BD=CD

∵CP∥AB

∴AB=CQ

∵AB：CP=BE+EF：FP

∵AB：CQ+CP=BE:EF+FP

∴由(CP+CQ)/AB=(EF+FP)/BE

       CP/AB=FP/(BE+EF)

       AB=CQ

得FP/(BE+EF)+1=(EF+FP)/BE

∵FP=EP-EF

∴EB²=EF*EP

作出图像后

发现E1，F1，P1情况不符合射线BP交AD，AC分别于E，F两点条件，则只讨论E2，F2，P2的情况

∵(EF-EP)/(BE+EF)=CP/AB

   AB/(QP+CP)=1 (缘由在1题证明中提到过)

   AB/QP=BE/PE

   则    CP/AB+QP/AB=1

          PE/BE+(EF-EP)/(BE+EF)=1

得EB²=EF*EP仍然成立