Question

7.微分方程 y^n-6y`+9y=x^2-1 的通解为？

Answer 1

这是一个二阶常微分方程，可以通过求解其特征方程和对应的齐次方程的通解，再结合待定系数法求解非齐次方程的特解，得到该微分方程的通解。

首先，求解齐次方程的通解。特征方程为 $r^n-6r+9=0$，化简得 $(r-3)^2=0$，解得特征根为 $r=3$（二重根）。因此，齐次方程的通解为 $y_h=c_1e^{3x}+c_2xe^{3x}$，其中 $c_1$ 和 $c_2$ 为常数。

然后，求解非齐次方程的特解。因为 $x^2-1$ 是一个二次多项式，我们可以猜测其特解形式为 $y_p=Ax^2+Bx+C$，其中 $A$、$B$、$C$ 为待定系数。将 $y_p$ 及其一、二阶导数带入非齐次方程得到：

解得 $A=\frac{1}{2}$，$B=2A=1$，$C=-\frac{1}{2}$。因此，非齐次方程的一个特解为 $y_p=\frac{1}{2}x^2+x-\frac{1}{2}$。

最终，该微分方程的通解为 $y=c_1e^{3x}+c_2xe^{3x}+\frac{1}{2}x^2+x-\frac{1}{2}$，其中 $c_1$ 和 $c_2$ 为常数。

Answer 2

题主给出的微分方程不太明确，n阶应说明是多少阶。如n=2时，则该微分方程应这样写

y"-6y'+9y=x²-1

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求解步骤：

1、求齐次方程的特征方程及通解

2、用待定系数法求其特解

3、求非齐次方程的通解

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求解过程：