Question

问一道多项式的数学题!!

Let p(x) be a polynomial with real coeffitients such that for all real x,
2(1+p(x))=p(x-1)+p(x+1)
and p(0)=8,p(2)=32. Determine the value of p(40).

答案是2008。求过程及讲解。谢谢！

Answer 1

把x=1代入已知等式，可得 p(1)=19。
令 q(x+1)=p(x+1)-p(x)，则原式化为 q(x+1)-q(x)=2，且 q(1)=11，
因此，q(x) 是首项为11、公差为2 的等差数列，也即 q(x)=2x+9，
所以，p(x+1)-p(x)=2x+11。
取x=0，1，……，39 ，则有
p(1)-p(0)=11；
p(2)-p(1)=13；
……
p(40)-p(39)=89
以上共40个式子，两端分别相加，可得
p(40)-p(0)=11+13+ ……+89=(11+89)*40/2=2000，
所以 p(40)=2000+p(0)=2008。
希望能帮到你。

Answer 2

p(x)-p(x-1)+2=p(x+1)-p(x)
令g(x)=p(x)-p(x-1)
g(x+1)-g(x)=2 等差数列
令x=1 2(1+p(1))=p(0)+p(2)=8+32=40 p(1)=19
g(1)=p(1)-p(0)=11
g(x)=11+2(x-1)=2x+9
即p(x)-p(x-1)＝2x+9
p(x-1)-p(x-2)=2(x-1)+9
....
p(1)-p(0)=2*1+9
上面X个式相加
p(x)-p(0)=2x(x+1)/2+9x=x*x+10x
p(x)=x*x+10x+p(0)=x*x+10x+8
将x=40代入
p(40)=40*40+40*10+8=2008

Answer 3

首先算出P1（为方便去掉括弧)，2+2P1=P0+P2=40.，所以P1=19
然后开始化简已知条件，2+P(x)+P(x)=P(x-1)+P(x+1),
P(x+1)-P(x)=P(x)-P(x-1)+2
开始迭代，
P2-P1=P1-P0+2
P3-P2=P2-P1+2
...
...
...
Pn-P（n-1）=P（n-1）-P（n-2）
再把上面的n-1个式子左右分别叠加，得到Pn-P1=P（n-1）-P0+2n-2
所以Pn-P（n-1）=P1-P0+2n-2=11-8+2n-2=2n+9
所以P1-P0=2*1+9
P2-P1=2*2+9
。。。
。。。
Pn-P（n-1）=2n=9
叠加得到Pn-P0=9n+2*（1+2+3+。。。。+n）=n^2+10n
所以Pn=n^2+10n+P0=n^2+10n+8
于是P40=40*40+40*10+8=2008

Answer 4

将x=1带入式中，得 2（1+p（1））=p（0）+p（2）
解出p（1）=19
化简式子 p（x+1）—p（x）=p（x）—p（x-1）+2
设 f（x）=p（x）-p（x-1）且f（1）=11，f（2）=13
得到f（x+1）-f（x）=2
f（x）=2x+9
即p（x）-p（x-1）=2x+9
p（2）-p（1）=2*2+9
p（3）-p（2）=2*3+9
……
……
p（x）-p（x-1）=2x+9
以上各式相加，得p（x）-p（1）=（x-1）*（x+11）
p（x）=（x-1）*（x+11）+19
故，p（40）=2008

哎，回答的这么慢，原来

Answer 5

2(1+p(x))=p(x-1)+p(x+1)
即(p(x+1)-p(x))-(p(x)-p(x-1))=2
因p(0)=8,p(2)=32所以P(1)=19
令A(x)=p(x)-p(x-1)
则A(x)是以A(1)=11为首项 公差D=2的等差数列
所以A(x)=11+2(x-1)=2x+9
p(40)-p(39)＝2(40)+9
p(39)-p(38)=2(39)+9
....
p(1)-p(0)=2(1)+9
上面40个式相加
p(40)-p(0)=2*40(40+1)/2+9*40=40*40+10*40
p(40)=40*40+40*10+8=2008