Question

求助几道极限的题

一、求这个不好打上，就是x趋于1时的极限：lim 分子是：
（1-根号x）×（1-3次根号x)…×（1-n次根号x）
分母是：（1-x）的n-1次方
答案是1/n! 请写出详细步骤，谢谢
二、lim(x²＋sinx)／(2x²－cosx) x趋于∞ 我是想都除以x²,但cosx/x²的极限是？
三、lim（1＋2的n次幂＋3的n次幂）的1/n次幂 n趋于∞ 答案是3 why?
四、已知limf(x)存在（x趋于1），且f(x)=2x²＋5＋3limf(x), x趋于1，求f(x)
答案是2x²－11/2
请帮我写出过程，越细越好，非常感谢O(∩_∩)O~写全的再追加分数

Answer 1

一、分子现在是相乘的状态，把分母分成n-1个（1-x）相乘，然后变成n-1个分式相乘的状态，（即【1-根号x/1-x 乘以……的状态】）然后由1-x^n=(1-x)[1+x+x^2+...+x^(n-1)] 得每个分式的分母由此公式展开[例如 第一个分式 1-x=（1+根号x）乘以（1-根号x）第二个分式 1-x=（1-3次根号x）乘以（1+根号x+三次根号x的平方） 以此类推] 然后分子与分母约分，得各个分子为1，分母为整式的分式乘积形式，然后把x=1带入 可以求出答案 即为1/n!
二、cosx/x²和sinx/x²在x趋于∞的时候总是极限为0的 因为当x无限增加的时候 cosx和sinx总是在-1与1之间徘徊 而x^2是无限增大的 所以 极限为0 即原式极限为1
三、利用两边夹定理：3^1+1^n+1^n<1＋2的n次幂＋3的n次幂<3+3^n+3^n
n→无穷时 1/n→0 lim(3^n)的1/n次幂=3
lim(3+3^n+3^n)的1/n次幂=3
所以求的 极限为3
四、limf(x) =lim2x²＋5＋3limf(x) 当X→1时 经过整理得
limf(x)=-7/2
待会原方程式 f(x)=2x²－11/2
, 希望能帮到楼主~~

追问

非常感谢，第一题还是不太懂，是要用到幂级数展开式方面的公式吗？还有第三题用的是g(x)<f(x)<h(x)吗？怎么确定两边的数呢？

追答

第一道题不是幂级数展开 而是根据公式1-x^n=(1-x)[1+x+x^2+...+x^(n-1)] 得到的 把各个分子用这个公式展开 分母是（1-x）的 n-1次幂 也就是n-1个（1-x）相乘 然后根据公式展开 分子分母约分即可~~
第三题 我昨天打字有失误 确实是你说的那个定理 两边的数呢 左边是1+2^n+3^n>3^n 这个有木有，因为1+2^n要>0的 而右边呢 给放大 1+2^n+3^n<3+3^n+3^n 把1和2都给放大到3 可知
所以用次定理就可以了~~
你是哪的学生呢 是在上学还是毕业了~~这么有学习兴趣 哈哈哈