Question

矩阵可对角化，那特征向量一定可对角化吗？

Answer 1

相似的矩阵必有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量。

如果A相似B,则存在非奇异矩阵是P，有P^(-1)*A*P＝B。

det(xI-B)=det(xI-P^(-1)*A*P)=det(P^(-1))=det(xI-A*)det*P)=det(xI-A)。

即B的特征多项式与A的特征多项式相同，故有相同的特征值。如果A的特征向量是a的，则B的特征向量就是Pa，设x是相应的特征向量，故Ax＝ax，于是：BPx=PAP^(-1)Pa=PAx=aPx。

若矩阵可对角化，则可按下列步骤来实现：

1、 求出全部的特征值。

2、对每一个特征值,设其重数为k,则对应齐次方程组的基础解系由k个向量构成，即为对应的线性无关的特征向量。