Question

数论疑难题

计算出所有两位以上质数（含两位）的12次方，任选两个相减（以大减小），再计算所有结果的最大公约数，那么这个最大公约数是多少？

Answer 1

5040
考虑(13^12-11^12,17^12-13^12)=5040，因此所求最大公约数必不大于5040
下面证明5040=2^4×3^2×5×7是所有形如p^12-q^12(p,q为两位以上质数)的数的公约数，即分别证明2^4|p^12-q^12；3^2|p^12-q^12；5|p^12-q^12；7|p^12-q^12
p^12-q^12=(p^6+q^6)(p^2-q^2)(p^2+pq+q^2)(p^2-pq+q^2)，由于p,q为奇数，所以2|p^6+q^6，p^2≡q^2≡1(mod 8)，即p^2-q^2≡0(mod 8)，所以8|p^2-q^2，所以16|(p^6+q^6)(p^2-q^2)，即2^4|p^12-q^12
p^12-q^12=(p^4-q^4)(p^8+q^8+p^4q^4)，而p^2≡q^2≡1(mod 3)，所以3|p^4-q^4，3|p^8+q^8+p^4q^4，即3^2|p^12-q^12
又p^4≡q^4≡1(mod 5)，所以5|p^12-q^12
同理p^6≡q^6≡1(mod 7)，所以7|p^12-q^12
于是5040=2^4×3^2×5×7|p^12-q^12
最大公约数为5040