Question

在数列{an}中，已知a1=1，an=2an-1/an-1+2（n>=2)，bn=1/an.求证：数列{bn}是等差数列.

在数列{an}中，已知a1=1，an=2an-1/an-1+2（n>=2)，bn=1/an.求证：数列{bn}是等差数列.
a(n)=2a(n-1)/ a(n-1)+2

其中(n)，(n-1)均为下标

Answer 1

a(n)=2a(n-1)/[a(n-1)+2]
<=>
1/a(n)=[a(n-1)+2]/2a(n-1)=1/2+1/a(n-1)
所以b(n)-b(n-1)=1/a(n)-1/a(n-1)=1/2
是等差，公差为1/2，首项为1/a(1)=1

Answer 2

1/an= a(n-1)+2/2a(n-1)
=1/2+1/a(n-1)
所以1/an-1/a(n-1)=1/2
所以{1/an}是等差数列
所以{bn}为等差数列

Answer 3

★★★★★★★正解如下★★★★★★★★
已知a[n]=2a[n-1]+2^（n+1），等式两边同除以2^n可得：
a[n]/2^n=a[n-1]/2^(n-1)+2，即b[n]=b[n-1]+2,故{b[n]}是等差数列