Question

求下列曲面所围成的立体的体积.(1) x=0, y=0 ,x+y+z=4

Answer 1

要求曲面 x=0、y=0 和 x+y+z=4 所围成的立体的体积，我们可以使用积分方法进行计算。
给定曲面方程 x=0、y=0 和 x+y+z=4，我们可以首先观察到这些方程定义了一个在第一象限的三角形区域。我们需要确定这个区域在 z 轴上的高度范围。
从方程 x+y+z=4 中解出 z，得到 z=4-x-y。注意到 x=0 和 y=0，我们可以得到 z=4。因此，在 z 轴上，该立体的高度范围是 0 到 4。
接下来，我们可以设置积分限制来计算该立体的体积。由于该立体在 xy 平面上被 x=0、y=0 和曲线 x+y+z=4 围成，我们可以将积分范围设置为这个区域。即：
∫∫∫ 1 dV,
其中积分范围为：0 ≤ x ≤ 4，0 ≤ y ≤ 4-x，0 ≤ z ≤ 4。
进行积分计算后，得到该立体的体积为：
V = ∫∫∫ 1 dV
= ∫₀⁴ ∫₀^(4-x) ∫₀⁴ dz dy dx.
将上述积分转化为正确的积分顺序，可以得到：
V = ∫₀⁴ ∫₀^(4-x) ∫₀⁴ dz dy dx
= ∫₀⁴ ∫₀^(4-x) [z]₀⁴ dy dx
= ∫₀⁴ ∫₀^(4-x) (4-0) dy dx
= ∫₀⁴ (4-0) (4-x) dx
= ∫₀⁴ (16 - 4x) dx
= [16x - 2x²]₀⁴
= (164 - 24²) - (160 - 20²)
= (64 - 32) - (0 - 0)
= 32.
因此，曲面 x=0、y=0 和 x+y+z=4 所围成的立体的体积为 32。