Question

求解方程组x^2+y=11 and x+y^2=7 求具体解题过程，不用计算机软件，能用什么方法？谢谢了

画图出来应该有4组解吧？

Answer 1

x=7-y^2
(7-y^2)^2+y=11
y^4-14y^2+y+38=0
y^4-2y^3+2y^3-4y^2-10y^2+20y-19y+38=0
(y-2)(y^3+2y^2-10y-19)=0
所以有：
y1=2， x1=7-y^2=3
及 y^3+2y^2-10y-19=0,此三次方程没有有理根，但有三个实根，可用三次方程的求根公式（卡丹公式）或三倍角函数代换法求得其三个实根为：
y2=3.13131251825057, x2=7-y^2=-2.805118087
y3=-3.28318599128616, x3=7-y^2=-3.779310253
y4=-1.84812652696442, x4=7-y^2=3.58442834
因此方程组共有四组实数解。其中只有一组整数解。

Answer 2

x^2+y=11 and x+y^2=7
x^2+x+y^2+y=18
x^2+x+1/4+y^2+y+1/4=18+1/2
(x+1/2)^2+(y+1/2)^2=18+1/2 令x+1/2=X/2，y+1/2=Y/2
X²/4+Y²/4=74/4
X²+Y²=74
X1=5，Y1=7 增根，舍去。
X2=7，Y2=5
x=3，y=2

追问

只有（3,2）是对的吧？

追答

二元二次方程组从理论来说应该有四组解，但是在这里只有这一组正整数解。
其他三组解均非正整数。

Answer 3

由 x+y^2=7
得 x = 7 - y^2
代入 x^2 + y = 11
得 y^4-14y^2+y+38 = 0
由于 首1的整系数多项式的有理根必为整数, 且是38=2*19的因子
试根知只有y = 2 是其根.
代入 x+y^2=7 得 x = 3.

所以 只有一组有理解 x=3,y=2.