Question

证明不等式x/（1＋x）＜In（1＋x）＜x，x>0

Answer 1

ln(1+x)/x=(1+x)/e^x=(1+x)/(1+x+x^2/2+x^3/6+....)<1 则ln(1+x)<x, 在x=0时x/(1+x)=ln(1+x)=0; 当x>0时 ，[1/(1+x)]'/[ln(1+x)]'=1/[(1+x)^2]/[1/(1+x)]=1/(1+x)<1 则在x>0时，x/(1+x)的增速小于ln(1+x)，在x=0相等

Answer 2

对f(x)=ln(1+x)在[0，x]上用中值定理得
f(x)-f(0)=f'(r)(x-0)=x/(1+r)其中r属于[0,x]
所以x/1+x<f(x)<x
如果是高中，构造函数求导g(x)=ln(1+x)-x，然后构造另一个，求导可证

Answer 3

先证明x/（1＋x）＜In（1＋x）
y=x/（1＋x）-In（1＋x）
y'=-x/（1＋x）^2-/（1＋x）<0
故而y在区域内单调递减，y》y（0）=0，不等式成立
再证明In（1＋x）＜x
y=In（1＋x）-x
y'=x/（1＋x）-1《0
同上可得

Answer 4

证明：设f(t)=ln(1+x)，f(t)在区间[0,x]上满足拉格朗日中值定理，有
f(x)-f(0)=f'(a)(x-0)，0<a<x.
∵f(0)=0,f'(t)=1/(1+t) ∴ln(1+x)=x/(1+a),又0<a<x，有x/(1+x)<x/(1+a)<x，
即 x/(1+x)<ln(1+x)<x （x>0)

Answer 5

最好的办法就是构造辅助函数，用中值定理证明。