Question

已知二次函数y=-x²+2x+m的图像与x轴相交于A,B两点(A左B右），与y轴相交于点C，顶点为D

1）求m的取值范围

2）当点A坐标为（-3,0）时求B点坐标

3)当BC⊥CD时，求m的值

Answer 1

解：（1）∵二次函数y=-x2+2x+m的图象与x轴相交于A、B两点
∴b2-4ac＞0，
∴4+4m＞0，
解得：m＞-1；

（2）把x=-3，y=0代入y=-x2+2x+m中得m=15，
∴二次函数的表达式为y=-x2+2x+15，
令y=0得-x2+2x+15=0，
解得x1=-3，x2=5，
∴点B的坐标为（5，0）；

（3）如图，过D作DE⊥y轴，垂足为E，
∴∠DEC=∠COB=90°，
当BC⊥CD时，∠DCE+∠BCO=90°，
∵∠DEC=90°，
∴∠DCE+∠EDC=90°，
∴∠EDC=∠BCO，
∴△DEC∽△COB，
∴ = ，
由题意得：OE=m+1，OC=m，DE=1，
∴EC=1，
∴ = ，
∴OB=m，
∴B的坐标为（m，0），
将（m，0）代入y=-x2+2x+m得：-m2+2m+m=0．
解得：m1=0（舍去），m2=3．
∴m的值是3．

Answer 2

由条件知，方程有两个根，所以根的判别式大于零，即可求出m大于-1，把a点坐标带入，即可求出m为15，再解方程即可求出B(5,0)。