Question

已知函数f（x）的定义域为R，满足f（x+2）=f（-x），且当x∈[1,无穷）时，f（x）=x，则满足f（2x）＜f

已知函数f（x）的定义域为R，满足f（x+2）=f（-x），且当x∈[1,无穷）时，f（x）=x，则满足f（2x）＜f（x）的x的取值范围是。
答案是（0,2/3）。 这个函数是关于x=1对称，我的答案是（0,1/2）。不明白为什么还有另外的条件。求解。

Answer 1

函数是分段的对吧，可以写成
y = -x+2 当x≤1时
x 当x>1时
对吧
只要0<2x≤1，所以f(2x)<f(x)总成立的。这不难理解吧。
而当2x>1时，要使f(2x)<f(x)成立也不是没有可能的，只不过就要算一下了。
左边的f(2x)代第二个式子，即2x
右边的f(x)代第一个式子，即-x+2
所以得2x<-x+2
得x<2/3
所以答案是(0,2/3)

Answer 2

这有什么，你画个图简单分析一下就知道了

Answer 3

x>=1时，显然f（2x）=2x＜f（x）=x不成立；
当x<1时，f(x)=2-x,而f(2x)得分情况：
（1）x>=1/2,此时f(2x)=2x，故不等式即2x<2-x,得x<2/3,得到1/2<=x<2/3；
（2）x<1/2,此时f(2x)=2-2x，故不等式即2-2x<2-x,得x>0,得到0<x<1/2；
综上，结果是0<x<2/3.