Question

已知函数f(x)=ax^3-4x+4（a∈R）在x=2取得极值。

（1）确定a的值并求函数的单调区间（2）若关于x的方程f(x)=b至多有两个零点，求实数b的取值范围

Answer 1

(1) f'(x) = 3ax² -4
f'(2) = 12a - 4 = 0
a = 1/3
f"(x) = 6ax
f"(2) = 6*(1/3)*2 = 4 ≠ 0, f(2)不是拐点，是极值点
f'(x) = 3ax² -4 = x² -4 = 0
x = 2 或x = -2
x > 2 或x < -2时, f'(x) > 0, f(x)递增
-2 < x < 2时, f(x)递减

(2)
f(x) = x^3/3 -4x +4
f(2) = 8/3 -8 + 4 = -4/3
f(-2) = -8/3 + 8 + 4 = 28/3
根据其单调区间并画草图可知，f(x)在x< -2时与x轴有一个交点， 在x=2两侧附近与x轴有两个交点, 共3个.
要使f(x) = b至多有两个零点, 可以想象为将直线y=0上下平移直至在极值点与相切, 平移范围正好是极值处的纵坐标以内.
即 -4/3 < b < 28/3时, f(x) = b有3个零点. 要使f(x) = b至多有两个零点, b ≤ -4/3 或 b ≥ 28/3

Answer 2

（1）
f(x)'=3ax^2-4
a<0时无极值
f(x)'=0=>x=√(4/3a)或-√(4/3a)
所以√(4/3a)=2
=>a=1/3
f(x)'=x^2-4
(-∞,-2]f(x)'>0,单增
(2,-2)f(x)'<0,单减
(2,+∞)f(x)'>0,单增

（2）f(x)=(1/3)x^3-4x+4=b
令g(x)=(1/3)x^3-4x+4-b=0
g(x)'=x^2-4
g(x)'=0=>x=2或-2
(-∞,-2]单增(2,-2)单减(2,+∞)单增
所以f(-2)为极大值，f(2)为极小值
经计算f(-2)>f(2)
b至多有两个零点
画图所以f(-2)=0或f(2)=0
-4/3-b=0或28/3-b=0
b=-4/3或b=28/3

Answer 3

1、f'(x)=3ax^--4, x=2, 3a2^--4=0 a=1/3
f'(x)=x^--4>0 x>2,x<-2 单增
f'(x)=x^--4<0 -2<x<2 单减
2、f(x)=1/3x^3-4x+4=b,
令F(x)=1/3x^3-4x+4--b 画出简图，易得：F(-2)>=0和F(2)<=0
解得：-4/3<=b<=28/3

Answer 4

将x=2带入到方程中得a=1/2

追问

其实我不会第二问