Question

高一数学三角函数压轴题，感觉太容易了有些不对劲，求助一下

已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)在R上单调递增，若对于任意的θ∈[0,π/2]，都有f(2a+cosθ)+f(a*cosθ-1)≤0恒成立，求实数a的取值范围。

怎么算，都求出来只有一个a≤0，可这是压轴题呀，不应该这么简单呀？求数学帝急救呀
100分呢，哥哥们，这么简单的题你们不来？

Answer 1

你好！
f(2a+cosθ)+f(a*cosθ-1)<=0
f(2a+cosθ)<=-f(a*cosθ-1)=f(-a*cosθ+1) （这一步是用到奇函数性质(⊙o⊙)哦）
根据是增函数
所以
2a+cosθ<=-a*cosθ+1恒成立
(2+cosθ)*a<=1-cosθ
a<=(1-cosθ)/(2+cosθ)对于θ∈[0,π/2]上恒成立
所以a要小于等于右边式子的在θ∈[0,π/2]上的最小值
我们假设g(θ)=(1-cosθ)/(2+cosθ),其中θ∈[0,π/2]，那么cosθ∈[0,1]
所以当cosθ=1时，g(θ）最小=0
所以a<=0
你是对的(⊙o⊙)哦

追问

嗯，我也是这么算出来的，可总感觉缺了些神马

追答

没有(⊙o⊙)哦，这是对的，这里已经考了奇函数的性质，单调函数的性质，另外还是一个恒成立的题目，所以这个是压轴题也是正常的(⊙o⊙)哦
有时候吧题目用到的已知都用上了，这个题目也就完成了，不要太顾虑了，\(^o^)/~
以前我也是这么觉得总少考虑某个了，可是长大后就会觉得那也是很正常的，但是还是要学会相信自己，这也很重要！
增强自信！You are Number one！

追问

f(2a+cosθ)+f(a*cosθ-1)≤0
f(2a+cosθ)-f(-a*cosθ+1)≤0
f(2a+cosθ)=a<=0

有个人是这么回答的，我一看也迷茫了，感觉没问题呀，可是一验算就是错的，能帮忙看看嘛

Edit：看明白了= =这人解不等式没考虑变号的问题

追答

好的！
这个我刚才也看见他的回答了的，他这个解法是错的，希望不要误解你
他这里有一个致命的错误，那就是根据
2a+cosθ<=-a*cosθ+1
直接得到
cosθ<=(1-2a)/(1+a)
敢问，我们题目本来就是求a的范围，那么我们怎么知道a+1的正负呢
所以怎么直接把1+a除过去做分母呢，而且我们也不知道是否不等式方向变号
所以对于恒成立的题目这样子的解法就是唯一的
那就是把要求的变量提到一边，然后根据已知得到另一边的最大或者最小值，这是恒成立题目的通性解法( ⊙ o ⊙ )啊！
他的那个不知你明白怎么错了吗
不懂还可以问哦

Answer 2

f(x)是定义在R上的奇函数 => f(0)=0， f(-x)=f(x)
且f(x)在R上单调递增 => 当a1<a2， f(a1)<=f(a2)
f(2a+cosθ)+f(a*cosθ-1)≤0 =>
2a+cosθ+a*cosθ-1<=0
a(1+2cosθ)<=1-cosθ
θ∈[0,π/2]=>a<=(1-cosθ）/（1+2cosθ）

Answer 3

f(x)是定义在R上的奇函数,f(x)=-f(-x)
f(2a+cosθ)+f(acosθ-1)≤0,
f(2a+cosθ)≤-f(acosθ-1)=f(1-acosθ)
f(x)在R上单调递增,
2a+cosθ≤1-acosθ, a≤(1-cosθ)/(2+cosθ)
因为是恒成立，所以a小于等于(1-cosθ)/(2+cosθ)的最小值
(1-cosθ)/(2+cosθ）=3/(2+cosθ)--1 当θ=0，最小值为0
所以a≤0 你要有自信！

Answer 4

a=0

Answer 5

f(2a+cosθ)+f(a*cosθ-1)≤0
f(2a+cosθ)-f(-a*cosθ+1)≤0
f(2a+cosθ)<=f(-a*cosθ+1)
2a+cosθ<=-a*cosθ+1
cosθ<=(1-2a)/(1+a)
1<=(1-2a)/(1+a)
-1>=a<=0