Question

请教:一道高中抛物线问题

请问: 若抛物线y^2=4x的焦点为F，其准线与x轴交于点C，过点F作它的弦AB，若∠CBF=90°，则|AF|-|BF|=？

Answer 1

答案是4，过程较为复杂，不方便输入，在此大致说一下思路。望谅解。
由抛物线标准方程易知：C(-1,0) F(1,0)
设弦AB斜率为k，则AB直线方程为：y=k（x-1）
因为∠CBF=90°即CB⊥AB，所以CB斜率为-1/k,则CB直线方程为：y=-1/k （x+1)
由以上两直线方程可求得B的坐标用k表示，带入抛物线方程可求得k方=（1+√5）/2
联立直线AB方程和抛物线方程得一元二次方程：k^2x^2-(2k^2+4)x+k^2=0
AB两点的横坐标X1，X2为以上方程两根。
由抛物线定义可知，|AF|等于A到准线距离，|BF|等于B到准线距离，
所以|AF|-|BF|等于A、B到准线距离之差，即为A、B两点横坐标之差。
由一元二次方程根与系数关系X1+X2，X1*X2可求出|X1-X2|^2=16，所以|X1-X2|=4
即|AF|-|BF|=4

Answer 2

解：
由y^2=4x可得p=2
设B(x2,y2),则由题意∠CBF=90°可得
(y2/(x2+p/2)*(y2/(x2-p/2)=-1
又y2^2=4x2
所以有x2=(√5+2)p/2
又因为直线过焦点，所以x1x2=p^2/4
所以x1=(p^2/4)/x2=(√5-2)p/2
所以||AF|-|BF||=|x2-x1|=(√5+2)p/2-(√5-2)p/2=4p/2=2p=4

Answer 3

【注：参数法】解：可设A(a²,2a),B(b²,2b).由三点A,F,B共线可得：ab=-1.∴a²=1/b².再由∠CBF=90º可知，|OB|=1.∴(b²)²+(2b)²=1.∴b²=√5-2.∴a²=√5+2.又显然可知：|AF|=a²+1,|BF|=b²+1.∴|AF|-|BF|=a²-b²=4.