Question

将正方形ABCD折叠，使顶点A于CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G（如图4）

如果M为CD边上的任意一点，设AB=2a，问△CMG的周长是否与点M的位置有关？若有关，请把△CMG的周长用含DM的长x的代数式表示；若无关，请说明理由。为啥是4a？

Answer 1

从以下分析可以见到△CMG的周长与M点的位置无关，为常数4a。
连接AM则折痕EF是AM的垂直平分线，EM=EA，∠EMG=∠A=90°；
进而可知，在rt△CMG及rt△DEM中，∠CMG=90°-∠DME=∠DEM，
所以△CMG∽△DEM，其周长之比等于相似比。
△DEM的周长：DM+DE+EM=x+DE+EA=x+DA=x+2a。
设DE=y，有方程EM²=x²+y²=EA²=（2a-y)²，整理得4a²-x²=4ay，
相似比MC/DE=(2a-x)/y，
△CMG的周长：（x+2a)*MC/DE=(X+2a)(2a-x)/y=(4a²-x²)/y=4ay/y=4a。
当M点位于D点或C点时不构成三角形CMG，但原三角形周长衍化为2倍的正方形边长，仍为4a。