Question

判断某函数在一点偏导存在的条件是什么,对X,Y偏导都存在?

Answer 1

利用定义求函数值的变化量与自变量（x或y）的变化量得比值在自变量的变化量（x或y）趋于0时的极限，若极限值存在,则相应的偏导存在；否则，相应的偏导不存在。

偏导如果从图像上来说呢，就是这个点在沿某个方向上的变化趋势（也就是斜率啦，跟平面上对x求导是一个意思，对x求偏导，就是你在这个点做一个平行于xoz平面的面去截函数，看他在这个点上的斜率）。

x方向的偏导

设有二元函数 z=f(x,y) ，点(x0,y0)是其定义域D 内一点。把 y 固定在 y0而让 x 在 x0 有增量 △x ，相应地函数 z=f(x,y) 有增量（称为对 x 的偏增量）△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。

如果 △z 与 △x 之比当 △x→0 时的极限存在，那么此极限值称为函数 z=f(x,y) 在 (x0,y0)处对 x 的偏导数，记作 f'x(x0,y0)或函数 z=f(x,y) 在(x0,y0)处对 x 的偏导数，实际上就是把 y 固定在 y0看成常数后，一元函数z=f(x,y0)在 x0处的导数。

Answer 2

利用定义求函数值的变化量与自变量（x或y）的变化量得比值在自变量的变化量（x或y）趋于0时的极限，若极限值存在,则相应的偏导存在；否则，相应的偏导不存在。

偏导如果从图像上来说呢，就是这个点在沿某个方向上的变化趋势（也就是斜率啦，跟平面上对x求导是一个意思，对x求偏导，就是你在这个点做一个平行于xoz平面的面去截函数，看他在这个点上的斜率）。

偏导数的几何意义：

偏导数表示固定面上一点的切线斜率。

偏导数 f'x(x0,y0) 表示固定面上一点对 x 轴的切线斜率；偏导数 f'y(x0,y0) 表示固定面上一点对 y 轴的切线斜率。

高阶偏导数：如果二元函数 z=f(x,y) 的偏导数 f'x(x,y) 与 f'y(x,y) 仍然可导，那么这两个偏导函数的偏导数称为 z=f(x,y) 的二阶偏导数。二元函数的二阶偏导数有四个：f"xx，f"xy，f"yx，f"yy。

以上内容参考百度百科——偏导数

Answer 3

利用定义。
求函数值的变化量与自变量（x或y）的变化量得比值在自变量的变化量（x或y）趋于0时的极限。
若极限值存在，则相应的偏导存在；否则，相应的偏导不存在。

追问

是求某一偏导的极限么

追答

不太准确，等一下，我发个图吧！

追问

我查到了，同济六版，书p67业

Answer 4

是的，如果对X,Y偏导存在，那么对任意方向的偏导都存在

追问

就是求xy的偏导，再代入那个点，有值就行了么，说明偏导存在？

追答

一般可求偏导就说明偏导存在了

Answer 5

偏导函数的定义为：如果z=f(x,y)在区域d内的每一点(x,y)处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数就是x，y的函数，称它为函数z=f(x,y)对自变量x的偏导函数；同理对y的偏导函数。
所以要注意的是偏导函数不仅仅是在一点可偏导，而且是在某一区域的d上都可偏导，如果z=f(x,y)在p（x，y）处得偏导存在，点p必定属于区域d，即在区域d内，因此我们可以很自然的认为p点的某领域属于该区域d，所以偏导函数在该点的某领域内也必然存在。