Question

如图1，点C是线段AB上一动点，分别以线段AC、CB为边，在线段AB的同侧作正方形ACDE和等腰直角三角形BCF，

∠BCF＝90°，连接AF、BD．
（1）猜想线段AF与线段BD的数量关系和位置关系（不用证明）．
（2）当点C在线段AB上方时，其它条件不变，如图2，（1）中的结论是否成立？说明你的理由．
（3）在图1的条件下，探究如下问题：
探究（一）：若AB＝3，当点C运动到什么位置时，正方形ACDE的面积与等腰直角三角形BCF的面积之和最小，最小值是多少？
探究（二）：当点C在线段AB上运动到什么位置时，直线AF垂直平分线段BD？（直接写出答案）

Answer 1

（1）相等且垂直
（2）成立
角ACD=角FCB＝90度
两边同时加上角DCF，所以角ACF=角DCB，
又AC=DC，CF=CB，所以三角形ACF和DCB全等，所以角FAC＝角BDC，AF=BD，
另一方面，延长AC交BD于M，角BDC+角DMC＝90度，所以角FAC+角DMC＝90度，所以AF和BD垂直
（3）（一）设AC=x，那么BC=3-x，
两者的面积之各为x^2+1/2*(3-x)^2=(3x^2)/2-3x+9/2,在对称轴x=1时取得最小值为3
（二）AC=三分之根2