Question

已知函数f(x)=sin+cosx+2sinxcosx+2,求函数的最大值和最小值 速度 大哥 大姐们

Answer 1

y=sinx+cosx+2sinxcosx+2 令a=sinx+cosx=√2sin(x+π/4) 所以-√2<=a<=√2

又a²=sin²x+cos²x+2sinxcosx=1+2sinxcosx
所以2sinxcosx=a²-1
所以y=a+a²-1+2=(a+1/2)²+7/4
-√2<=a<=√2
所以a=-1/2,y最小=7/4
a=√2，y最大=3+√2

Answer 2

原式=sinx+cosx+(sinx+cosx)^2+1
令sinx+cosx=t 其中t∈[-2^0.5,2^0.5]
原式=t^2+t+1
因此max=3+2^0.5

Answer 3

解：
f(x)=sinx+cosx+2sinxcosx+1+1
=sinx+cosx+2sinxcosx+sinx*sinx+cosx*cosx+1
=(sinx+cosx)+(sinx+cosx)*(sinx+cosx)+1
令a=sinx+cosx,则上式可化为：
f(a)=a+a*a+1
=(a+1/2)*(a+1/2)+3/4
则当a+1/2<0时,f(a)递减；当a+1/2>0时,f(a)递增。
又因为a=sinx+cosx,对a求导数得：
aˊ=cosx-sinx
令aˊ=0，则x=л/4和5л/4，则a∈[-根号2,+根号2]
所以，当a=1/2时，f(a)取得最小值，f(a)min=3/4,
当a=根号2时，f(a)取得最大值，f(a)max=3+根号2.
所以，f(x)的最小值为：3/4；最大值为3+根号2。