Question

平行四边形ABCD，如果点E是CD的中点，点F是BC边上的一点，且∠FAE=∠EAD，求证EF⊥AE

Answer 1

延长AE交BC的延长线于G，
因为AD平行BC，所以角G=角EAD＝角FAE，而且AE=EG
所以FA=FG，根据等腰三角形的三线合一，点E是CD的中点，所以EF⊥AE

Answer 2

延长FE，AD,两条线交于G点，
因为AD//BC.所以∠GDC=∠CEF,
又因为DE=CE,∠CEF=∠DEG
所以三角形DEG全等于三角形CEF
推出GE=FE
可以知道E点是GF的中点，AE是三角形AFG的中线
又∠FAE=∠EAD
所以AE是三角形AFG的角平分线
可知三角形AFG的是等腰三角形
等腰三角形三线合一，所以AE垂直GF，即AE垂直EF得证

Answer 3

过E作EM∥AD∥BC，交AF于M，交AB于N，
因为E是CD的中点，所以M是AB中点
所以在三角形ABF中，MN∥BF，M是AB中点
所以N为AF中点，即AN=FN
因为EM∥AD，所以∠EAD=∠AEN
又∠FAE=∠EAD
所以∠FAE=∠AEN
所以AN=EN
所以啊AN=EN=FN
所以直角三角形AEF,即EF⊥AE

Answer 4

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