Question

基本不等式的定义是什么？

Answer 1

基本不等式是指对于任意非负实数a和b，有以下不等式成立：

a + b ≥ 2√(ab)

要证明为什么只有在a=b时，不等式达到最小值，我们可以使用平方差公式来分析。首先，我们将不等式的两边同时平方：

(a + b)^2 ≥ (2√(ab))^2
a^2 + 2ab + b^2 ≥ 4ab
a^2 - 2ab + b^2 ≥ 0
(a - b)^2 ≥ 0

由于平方的结果总是非负的，所以(a - b)^2 ≥ 0对于任意实数a和b都成立。

当且仅当(a - b)^2 = 0时，不等式取等号。这意味着a - b = 0，即a = b。所以只有当a=b时，不等式达到最小值0，也就是说，当a=b时，a + b = 2√(ab)。

因此，基本不等式中的等号仅在a=b时取到，此时取得最小值。当a≠b时，不等式成立但不取等号，取得的值大于2√(ab)。

综上所述，基本不等式在a=b时取到最小值，而在a≠b时取得较大的值。