Question

ar模型的传递形式推导

Answer 1

2.AR(p)过程

\{X_n:n=0,\pm1,\pm2,\cdots\} 为一时间序列，满足对 \forall n \in ZX_n=a_0+a_1X_{n-1}+a_2X_{n-2}+\cdots+a_pX_{n-p}+\epsilon_n

\{\epsilon_n:n=0,\pm1,\pm2,\cdots\} 为白噪声序列， Var(\epsilon_n)=\sigma^2 。称 \{X_n\} 为 p 阶自回归过程，记为AR(p)。

3.特征方程

1-a_1x-a_2x^2-\cdots-a_px^p=0

结论：AR(p)过程是平稳的当且仅当特征方程解的模大于1.

4.均值为0的AR(p)过程

令 \mu 为平稳的AR(p)过程均值，那么 X_n-\mu=a_1(X_{n-1}-\mu)+a_2(X_{n-2}-\mu)+\cdots+a_k(X_{n-p}-\mu)+\epsilon_n

因此在以下的讨论中，我们假定AR(p)过程为

X_n=a_1X_{n-1}+a_2X_{n-2}+\cdots+a_kX_{n-p}+\epsilon_n

5.Yule－Walker方程组

令 \rho_i,i=1,2,\cdots,p 为 i 阶自相关系数，则

\left\{ \begin{aligned} \rho_1 &= a_1 +a_2\rho_2+a_3\rho_3+\cdots+a_p\rho_p\\ \rho_2 & =a_1 \rho_1+a_2+a_3\rho_3+\cdots+a_p\rho_p\\ &\cdots&\\ \rho_p & =a_1 \rho_1+a_2\rho_2+a_3\rho_3+\cdots+a_p \end{aligned} \right.

解方程组可得自相关系数 \rho_i,i=1,2,\cdots,p 。

然后利用递推关系求出各阶自相关系数：

\rho_k=a_1 \rho_{k-1}+a_2\rho_{k-2}+a_3\rho_{k-3}+\cdots+a_p\rho_{k-p},k\geq p+1 .

6. 平稳的AR(1) 过程

X_n=a_1X_{n-1}+\epsilon_n , a_1\ne 0

性质

(1) |a_1|<1 ;

(2) Var(X_n)=\frac{\sigma^2}{1-a^2_1} ；

(3) 自相关系数 \rho_k=a^k_1,k\geq0 .