Question

证明 e^x ,e^2x, e^3x线性无关。

Answer 1

证明:
设 k1e^x+k2e^2x+k3e^3x = 0.
x分别取0,1,2,得
k1+k2+k3 =0
k1e+k2e^2+k3e^3 = 0
k1e^2+k2e^4+k3e^6 = 0
即
k1+k2+k3 =0
k1+k2e+k3e^2 = 0
k1+k2e^2+k3e^4 = 0
因为行列式 (Vandermonder行列式)
1 1 1
1 e e^2
1 e^2 e^4
=(e-1)(e^2-1)(e^2-e)
=e(e+1)(e-1)^3
≠0.
所以 k1=k2=k3=0
所以 e^x ,e^2x, e^3x线性无关.

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Answer 2

设a1e^x+a2e^2x+a3e^3x=0
解得a1=a2=a3=0
故e^x ,e^2x, e^3x线性无关

追问

请不要忽悠我！

追答

什么叫忽悠？
线性无关的定义是什么？
x1,x2,x3,...xn线性无关的充要条件是a1x1+a2x2+...+anxn=0时，有a1=a2=...=an=0
你能证明我刚才解的a1,a2,a3中有一个不等于0吗？

追问

不能