Question

急求解一道高数证明题：

设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且0<a<b，试证存在ξ,η ∈（a,b),使得f'(ξ)=(a+b)/(2η )*f'(η )成立。 数学爱好的朋友们恳请你的帮助，在此先说声谢谢啦！

Answer 1

拉格朗日+柯西中值定理
证明：
对f(x)在[a,b]上运用拉格朗日中值定理
存在ξ ∈(a,b),使得
f'(ξ )=[f(b)-f(a)]/(b-a)......(1)
由柯西中值定理
存在η ∈(a,b),使得
[f(b)-f(a)]/(b-a)=(a+b)[f(b)-f(a)]/(b²-a²)=(a+b)*[f'(η)/(2η)]......(2)
综合(1),(2)有
f'(ξ)=[(a+b)/(2η )]*f'(η )
即证.

Answer 2

对f(x)在[a,b]上用拉格朗日中值定理，则至少存在一点ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)＝[f(b)-f(a)]/(b-a)。
对f(x)，x^2在[a,b]上用柯西中值定理，则至少存在一点η∈(a,b)，使得[f(b)-f(a)]/(b²-a²)=f'(η)/(2η)，所以[f(b)-f(a)]/(b-a)＝(b+a)f'(η)/(2η)。
两个式子联立，得f'(ξ)=(a+b)/(2η )*f'(η )