Question

如图，平行四边形ABCD中，对角线AB、CD交于点O，若角BOC=120度，AD=7，BD=10，求平行四边形ABCD的面积

Answer 1

过点D作AC的垂涎交AC于点E，角BOC=120，所以角DOE=60，BD=10，OD=5，
DE=OD*sin60=5*根号3/2，因为AD=7，AE方=AD方-DE方=（5*根号3/2)^2+49=121/4
AE=11/2，OE=OD*cos60=5/2，所以OA=11/2-5/2=3,
AC=6,平行四边形ABCD面积=AC*DE*2=6*5*根号3/2*2=30根号3

Answer 2

过B作BE⊥DA，E是垂足(按上面的图形，E在DA的延长线上)；过O作OF⊥AD，F是垂足。
设∠ODA=α，∵∠BOC=∠AOD=120°，∴∠OAD=60°-α；
在△AOD中使用正弦定理，得OA=(7/sin120°)sinα=(14/√3)sinα，于是得等式：
OF=OAsin(60°-α)=ODsinα，即有[(14/√3)sinα]sin(60°-α)=5sinα，化简得:
sin(60°-α)=5/(14/√3)=5(√3)/14，故60°-α=arcsin[5(√3)/14]，∴α=60°-arcsin[5(√3)/14]。
于是BE=BDsinα=10sin{60°-arcsin[5(√3)/14]}
=10{sin60°cos[arcsin[5(√3)/14]-cos60°sin[arcsin[5(√3)/14]}
=10{(√3/2)√(1-75/196)-(1/2)[5(√3)/14]}
=10[(√3/2)(11/14)-5√3)/28]=60(√3)/28=15(√3)/7
∴平行四边形ABCD的面积S=AD×BE=7×15(√3)/7=15√3。