Question

已知函数f(x)=x^3-3ax^2-3a^2+a(a>0)(2)曲线y=f(x)在点A(m,f(m))和B(n,f(n))(m<n)

f(x)=x^3-3ax^2-3a^2+a(a>0),曲线y=f(x)在点A(m,f(m))和B(n,f(n))，m<n,处的切线都与y轴垂直。若曲线y=f(x)在区间[m,n]上与x轴相交，求a的取值范围。

Answer 1

f'(x)=3x^2-6ax 则令f'(x)=0,得m=0 n=2a,则在x=m处取得极大值x=n处取得极小值，因此要保证y=f(x)在区间[m,n]上与x轴相交，只需f(0)>=0,f(2a)<=0,带入得：-3a^2+a>=0且-4a^3-3a^2+a<=0解得：1/4=<a<=1/3

Answer 2

m,n处切线与y轴垂直即该两点为函数极值点，导数为零，求导解得m=0,n=2a。由于[m,n]上与x轴有交点，而且在x=n时函数取极小值，故f(m)>=0,f(n)<=0。把m和n代入f(x)解得两组解合并最终解为1/3>=a>=1/4。