Question

证明函数f(x)=x^1/2在[0,+∞)上是增函数

Answer 1

可以用定义去证明：
设x1>x2≥0，则f(x1)-f(x2)=√x1-√x2=(√x1²-√x2²)/(√x1+√x2)=(x1-x2)/(√x1+√x2)
由x1>x2≥0得x1-x2>0，√x1+√x2>0。于是(x1-x2)/(√x1+√x2)>0，即或f(x1)>f(x2)
故函数f(x)在[0,+∞)上是增函数。

另也可用导数证明：
f'(x)=1/(2√x)，x≥0，所以f'(x)>0。故f(x)是[0,+∞)上是增函数。

Answer 2

设区间[0,+∞)内任意x1，x2，其中x1＜x2
求f（x1）÷f（x2）=（x1÷x2）^1/2
因为x1＜x2
所以x1÷x2＜1
所以（x1÷x2）^1/2＜1
所以f（x1）÷f（x2）＜1
而在区间[0,+∞)内f（x）＞0
所以f（x1）＜f（x2）
所以是增函数

Answer 3

设x1>x2≥0，则f(x1)－f(x2)=(x1)^(1/2)－(x2)^(1/2)==分子有理化==>>(x1－x2)/[(x1)^(1/2)＋(x2)^(1/2)]，因x1>x2，则f(x1)>f(x2)，从而这个函数是定义域上的单调递增函数。

Answer 4

设x1，x2且x1<x2,只需证f(x1)-f(x2)<0 即可,即证(x1^1/2+x2^1/2)(f(x1)-f(x2))<0
即证x1-x2<0 显然成立 所以为增函数

Answer 5

用比值的方法,x2^1/2/x1^1/2