Question

请教一道物理竞赛题？要过程

如图所示，体积相同、密度分别为ρA、ρB的A、B两立方体正对叠放于水平桌面上，且ρA:ρB=1:3。A对B的压强为pA，B对桌面的压强为pB。现逐渐减小A的体积，但始终保持A的形状为立方体且密度不变。在A的体积减小的过程中，pA与pB的比值 （ ）
A．始终变大 B．始终变小
C．先减小后变大 D．先增大后减小
图

Answer 1

ρA=3ρB;令A和B的边长分别为a,b,那么:PA=ρAga=3ρBga;PB=(GA+GB)/b^2=(ρAa^3g+ρBb^3g)/b^2=ρBg(3a^3+b^3)/b^2;所以PA/PB=3ab^2/(3a^3+b^3).最初a=b.有PA/PB=3/4.B的边长b不变;A的边长a减小,当a=b/2时,PA/PB=12/11;当a=b/3时,PA/PB=27/30.令a=b/n,n为正整数,当n变大,a减小,可得PA/PB=3n^2/(3+n^3).n从1到2时,PA/PB比值增大,但n>2后,PA/PB开始不断变小,所以答案是D

Answer 2

假定初始边长 1, A 的边长 x , x <= 1
ρA = ρ, ρB = 3ρ

pA = ρx^3g / x^2 = ρxg
pB = ρx^3g + 3ρg
pA/pB = x/(x^3 + 3)

这个不太直观, 我们看看 pB/pA,
pB/pA = (x^3 + 3)/x = x^2 + 3/x
在 x 从 1 到 0 的变化过程中, 这个比值是增大的
那么, 显然 pA/pB 是减小

追问

感谢你的回答，不过为什么 x^2 + 3/x比值是增大的，而不是先减小再增大？

追答

如果你学过微积分, 算算导数

如果没学过, 就只能画个图直观看一下了

另外, 我们知道, x^2 + 3/x = x^2 + 3/2x + 3/2x
它的最小值位置在 x^2 = 3/2x, 也就是 x^3 = 3/2, 的位置, (算数平均数大于等于几何平均数)
结合图形, x 从0到1增大过程中, y 是不断减小的, x 从 1 到 0 , y 就不断增大
当然上述论断是不完全的, 只是一个猜想性质的......完整的单调性证明还是要看导数

Answer 3

先极端假设 A的体积为0时最后比值为0 最初比值1/4 排除AC选项
再假设A体积减为原来的1/8时 再计算