Question

数列{an}的前项和记为Sn，已知a1=1,an+1=(n+2)/n*Sn（n=1,2,3,……n），求数列为{an}的通项公式

1，n+1，为下脚标

Answer 1

a(n+1)=S(n+1)-S(n)
代入已知式子得：
S(n+1)-S(n)=S(n)·(n+2)/n
nS(n+1)-nS(n)=S(n)·(n+2)
nS(n+1)=S(n)·(2n+2)
nS(n+1)=2S(n)·(n+1)
S(n+1)/(n+1)=2S(n)/n
又S(1)/1=a(1)/1=1≠0
∴{S(n)/n}是以1为首项，2为公比的等比数列。
∴S(n)/n=1*2^(n-1)=2^(n-1)
即S(n)=n·2^(n-1)
代入a(n+1)＝S(n)·(n+2)/n，得
a(n+1)=(n+2)·2^(n-1)
a(n+1)=[(n+1)+1]·2^[(n+1)-2] (n∈N+)
即a(n)=(n+1)·2^(n-2) (n∈N+，且n>1) (n＞1是因为这里的n是由上面的n+1换成的，而上面的n+1＞1)
把a1代入也满足。
∴a(n)=(n+1)·2^(n-2)