Question

两道高中数学题，望牛人赐予详细解答！

已知函数f(x)=x+sinx(x∈R)，且f(y^2-6y+11)+f(x^2-8x+10)≤0。则当y≥3时，函数F(x，y)=x^2+y^2的最小值与最大值分别为？
已知函数f(x)满足：①当0≤x≤2时，f(x)=(x-1)^2，②对任意的x∈[0，8]，恒有f(x-1/2)=f(x+3/2)。若方程在[0，8]上有偶数个根，则正数M的取值范围是？

Answer 1

第一题：
f(x)=x+sinx，容易得到-f(x)=f(-x)，f'(x)=1+cosx>=0，所以f(x)为增函数。所以，
由f(y^2-6y+11)+f(x^2-8x+10)≤0可以得到 y^2-6y+11≤-(x^2-8x+10)，所以有
(x-4)²+(y-3)²≤4，F(x，y)=x^2+y^2表示圆(x-4)²+(y-3)²=4内一点到坐标原点的距离，
圆(x-4)²+(y-3)²=4，圆心为（4，3），到原点距离为5，所以F(x，y)=x^2+y^2的最小值为5-2=3，
最大值为5+2=7。
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第二题M这里指什么不明确。事实上由f(x-1/2)=f(x+3/2)可以得到f(x)=f(x+2)。所以函数在x∈[0，8]内为周期函数，最小正周期为2。由于题目问题不清楚，就说明到这里。